Enunciado

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva:

r 2 = 8 c o s 2 θ

r = 2

Passo 1

Oiii, tudo certinho?? Bom... o enunciado nos dá duas equações polares:

r 2 = 8 c o s 2 θ

E

r = 2

Queremos calcular a área que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

Em outras palavras, para ficar melhor de saber o que vamos calcular, queremos encontrar a seguinte área hachurada:

Para isso, sabemos que, quando estamos trabalhando em coordenadas polares, a área é dada pela seguinte integral:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2 d θ

Assim, devemos encontrar a interseção entre as curvas para aplicar na integral, juntamente com os limites de integração que iremos encontrar.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Na interseção entre as curvas, igualamos as funções:

r 2 = 8 c o s 2 θ ∴

2 2 = 8 c o s 2 θ ∴

4 = 8 c o s 2 θ ∴

θ = cos - 1 ⁡ 1 2 2 ∴

θ = π 6

Podemos ver através do passo 1 que a área da seção procurada é 4 vezes a área da seção compreendida entre as curvas de 0 a π 6 , dessa forma, nossos limites de integração são 0   e   π 6 .

Passo 3

Para calcular a área abaixo de uma curva, lembramos que:

A = 4 ∙ 1 2 ∫ a b r 2 d θ

Note que já multiplicamos por 4 de acordo com o que vimos no passo anteior.

Substituindo os limites de integração e aplicando a subtração das funções (já que queremos a área de interseção entre as duas), temos:

A = 4 2 ∫ 0 π 6 ( 8 c o s 2 θ - 2 2 ) d θ ∴

A = 8 ∫ 0 π 6 ( 2 c o s 2 θ - 1 ) d θ

Passo 4

Podemos separar em 2 integrais:

A = 16 ∫ 0 π 6 ( c o s 2 θ ) d θ - 8 ∫ 0 π 6 d θ

Na primeira integral, podemos fazer por substituição simples. Seja

u = 2 θ

d u = 2 d θ

Assim podemos reescrever a integral como:

16 ∫ c o s ⁡ ( u ) d u 2 = 8 s e n ( u )

Voltando para a variável original temos:

8 s e n 2 ∙ π 6 - s e n 0 = 4 3

A segunda integral é dada por:

8 ∫ 0 π 6 d θ = 8 π 6 - 0 = 4 3 π

Assim, a área procurada é a subtração dessas 2 integrais, ou seja:

A = 4 3 - 4 3 π

Resposta

A área da seção é 4 3 - 4 3 π .

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Esboce a curva e calcule a área limitada por elar = 2 cos 3 theta
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva. r = 2 cos ⁡ θ r = 1