Calcule o centro de massa da região dada:

A = [(x, y) ∈ R² / x² + 4y²] ≤ 1, x >= 0 e y >= 0]

Passo 1

Primeiramente, vamos vizualizar o gráfico da curva para facilitar!

A curva é   x ²   +   4 y ² ≤ 1

Isso é a equação da elipse, então temos,

A fórmula para centro de massa é dada por:

X c   = ∫ a b y x d x / ∫ a b y d x

Y c   = ∫ a b y x d x / ∫ a b x d x

Logo, isolando a função em termos de x e y :

X   = 1 - y 2 2 e Y   = 1 - x 2 2

Logo:

∫ a b y x d x = ∫ 0 1 x   1 - x 2 2 d x

Montada a integral, vamos resolver!

Passo 2

Vamos começar por x C

x c = ∫ 0 1 x 1 - x 2 2   d x ∫ 0 1 1 - x 2 2   d x

Vamos fazer uma substituição simples! Para resolver,

∫ 0 1 x   1 - x 2 2 d x

Substituindo,

u   =   1 - x ²

d u   =   - 2 x d x

Ficamos com a seguinte integral,

∫ u d u = 2 3 u 3 / 2

Voltando para variável x

∫ 0 1 x 1 - x 2 2   d x = 1 3

Já para o denominador fica:

∫ 0 1 1 - x 2 2   d x = π 4

Logo,

x c = 4 3 π

Passo 3

Para y c

y c = 1 2 ∫ a b ( f x - g x ) ( f x + g x ) d x ∫ a b [ f x - g ( x ) ] d x

y c = 1 2 ∫ - 1 1 1 - x 2 2 2 d x ∫ - 1 1 1 - x 2 2 d x

Resolvendo essas integrais (a resolução é análoga ao passo 2), temos que y c = 2 3 π

Resposta

x c = 4 3 π

y c = 2 3 π

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