Enunciado

Suponha que f e g sejam contínuas em [ a , b ] e que os gráficos de y = f ( x ) e y = g ( x ) se cruzem várias vezes. Descreva um procedimento passo a passo para determinar a área delimitada pelos gráficos de y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a e x = b .

Passo 1

O que o enunciado quer é um passo a passo para calcular a área entre curvas quando elas se cruzam várias vezes em um mesmo intervalo. E isso implica que naquela fórmulinha:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

f ( x ) e g ( x ) vão ficar trocando de lugar para cada pedacinho, ou seja, a gente vai ter várias integrais. Vamos fazer esse passo a passo juntos.

Passo 2

Primeira coisa que a gente faz é achar as interseções entre as funções g ( x ) e f x dentro de [ a , b ] , solucionando a equação:

f x = g ( x )

Aí as soluções que a gente achar, colocamos em ordem crescente x 1 < x 2 < x 3 … < x n , porque elas serão os extremos de integração das nossas integrais.

Sendo que se a ≠ x 1 e b ≠ x n , a e b também serão extremos de integração:

x 0 = a ,   x n + 1 = b

Passo 3

Achando essas interseções, nós analisamos cada intervalo, para ver qual é a função maior e qual é a função menor nele. Digamos que no primeiro intervalo [ x 0 , x 1 ] , f x > g ( x ) , então a área dele fica assim:

A 1 = ∫ x 0 x 1 f x - g x   d x

Já no próximo intervalo isso vai se inverter e:

A 2 = ∫ x 1 x 2 g x - f x   d x

A gente segue alternando essas posições para todas as A i , e depois soma tudo no final:

A = ∫ x 0 x 1 f x - g x   d x + ∫ x 1 x 2 g x - f x   d x + ∫ x 2 x 3 f x - g x   d x …

Aí é só calcular essas integrais todas para chegar na área. Prontinho!

Resposta

Procedimento nos passos

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