Enunciado

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = 3 t + 2 y = t - 1   ,   t ∈ [ 0 , 2 ]

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 0     e     t 1 = 2 .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = 3

y ' = 1

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 2 3 2 + ( 1 ) 2 d t = ∫ 0 2 9 + 1   d t = ∫ 0 2 10   d t

= 10   t   | 2 0

Passo 3

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = 10 . 2 - 10 . 0 =   2 10   u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 2 10   u . c .

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Calcule o comprimento do segmento de reta 5 x - 2 y = 10 entre os seus interceptos x e y por três métodos: (a) use a fórmula da distância. (b) use o Teorema 6.3.2. (c) use o Teorema 6.3.3.
Ache o comprimento do arco da curva x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 ( a é uma constante, a1 ) no primeiro quadrante, do ponto onde x = 1 ao ponto onde x = a .
Se f x = ∫ 0 x cos ⁡ td t , ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto onde x = π 3 ao ponto onde x = π 2 .
Nos exercícios de 23 a 26, use a regra de Simpson com n = 8 para aproximar até quatro casas decimais o comprimento de arco. (26) O arco da curva y = t g x , da origem ao ponto ( 1 4 π , 1 ) .
Nos exercícios de 23 a 26, use a regra de Simpson com n = 8 para aproximar até quatro casas decimais o comprimento de arco. (24) O arco da curva co-seno, da origem ao ponto ( π 3 , 1 2 ) .