Enunciado

Calcule o comprimento da curva.

x = t sen t , y = t cos t , 0 <= t <= 1

Passo 1

Vamos derivar x = t sen t :

(d x)/(d t) = t cos t + sen t

E agora, derivar y = t cos t :

(d y)/(d t) = - t sen t + cos t

Então:

((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 = t^2 cos^2 t + 2 t sen t cos t + sen^2 t + t^2 sen^2 t - 2 t sen t cos t + cos^2 t = t^2 (cos^2 t + sen^2 t) + sen^2 t + cos^2 t = t^2 + 1

Passo 2

Então, escrevendo a integral, temos que:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

O intervalo dado é 0 <= t <= 1 . Assim,

L = int_0^1 sqrt(t^2 + 1) d t = [(1)/(2) t sqrt(t^2 + 1) + (1)/(2) ln (t + sqrt(t^2 + 1))]_0^1 = (1)/(2) sqrt(2) + (1)/(2) ln (1 + sqrt(2))

Resposta

(1)/(2) sqrt(2) + (1)/(2) ln (1 + sqrt(2))

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