Enunciado

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Calcule a derivada segunda.

y = t ln ⁡ t

Passo 1

Vamos analisar a função, aqui vamos usar a regra do produto:

h t g t ' = h ' t g t + g ' t h t

Temos que:

h t = t

e

g t = ln ⁡ t

Assim:

y ' = d y d t = d d t t ln ⁡ t = h ' t g t + g ' t h t = t ' ⋅ ln ⁡ t + ln ⁡ t ' ⋅ t

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função logarítmica natural:

t n ' = n t n - 1

c ' = 0

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

Vamos calcular h ' ( t ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( t ) = t ' = t 1 - 1 = t 0 = 1

Com g ' ( t ) vamos usar a regra e da função logarítmica natural:

g ' t = ln ⁡ t ' = 1 t ⋅ t ' = 1 t ⋅ t 1 - 1 = 1 t ⋅ t 0 = 1 t ⋅ 1 = 1 t

Passo 3

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

y ' = h ' t g t + g ' t h t = t ' ⋅ ln ⁡ t + ln ⁡ t ' ⋅ t = 1 ⋅ ln ⁡ t + 1 t ⋅ t = ln ⁡ t + 1

Passo 4

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora y ' :

y ' ' = y ' ' = d 2 y d t 2 = d d t d y d t = d d t ln ⁡ t + 1 ' = 1 t + 0 = 1 t

Resposta

y ' ' = d 2 y d t 2 = 1 t

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Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )