Enunciado

Se f (u , v , w) é diferenciável e u = x - y , v = y - z e w = z - x , mostre que

(del f)/(del x) + (del f)/(del y) + (del f)/(del z) = 0

Passo 1

Oi pessoal, com os dados do enunciado, conseguimos fazer os diagramas de árvore, para as três variáveis independentes:

Com isso, através da Regra da Cadeia, temos:

(del f)/(del x) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x) + (del f)/(del w) (del w)/(del x)

(del f)/(del y) = (del f)/(del u) (del u)/(del y) + (del f)/(del v) (del v)/(del y) + (del f)/(del w) (del w)/(del y)

(del f)/(del z) = (del f)/(del u) (del u)/(del z) + (del f)/(del v) (del v)/(del z) + (del f)/(del w) (del w)/(del z)

Com os valores dados no enunciado {[[u = x - y],[v = y - z],[w = z - x]]) , conseguimos calcular as derivadas:

Passo 2

Sendo assim:

(del f)/(del x) + (del f)/(del y) + (del f)/(del z) = (del f)/(del u) (del u)/(del x) + (del f)/(del v) (del v)/(del x) + (del f)/(del w) (del w)/(del x) + (del f)/(del u) (del u)/(del y) + (del f)/(del v) (del v)/(del y) + (del f)/(del w) (del w)/(del y) + (del f)/(del u) (del u)/(del z) + (del f)/(del v) (del v)/(del z) + (del f)/(del w) (del w)/(del z)

= (del f)/(del u) * 1 + (del f)/(del v) * 0 + (del f)/(del w) * (- 1) + (del f)/(del u) * (- 1) + (del f)/(del v) * 1 + (del f)/(del w) * 0 + (del f)/(del u) * 0 + (del f)/(del v) * (- 1) + (del f)/(del w) * 1

= (del f)/(del u) - (del f)/(del w) - (del f)/(del u) + (del f)/(del v) - (del f)/(del v) + (del f)/(del w)

= ((del f)/(del u) - (del f)/(del u)) + ((del f)/(del v) - (del f)/(del v)) + ((del f)/(del w) - (del f)/(del w))

= 0

Logo:

(del f)/(del x) + (del f)/(del y) + (del f)/(del z) = 0

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Resposta no Passo.

Exercícios de Livros Relacionados

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .9. z = ln (3 x + 2 y) , x = s . s e n t , y = t . cos s
Use a regra da cadeia para achar (d z)/(d t) z = t g^(- 1) ((y)/(x)) , x = e^t , y = 1 - e^(- t)
Use a Regra da Cadeia para determinar d z // d t ou d w // d t 4-z = x ln (x + 2 y) , x = s e n t , y = cos t
Use a regra da cadeia para determinar d z // d t ou d w // d t .6-w = x y + y z^2 , x = e^t , y = e^t s e n t , z = e^t cos t
17-20. Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.19. T = F ( p ,q ,r ) , no qual p = p ( x ,y ,z ) , q = q ( x ,