Determine a derivada da função:

y = (x + 1)^2 (x^2 + 2x)

Passo 1

A derivada de um polinômio da forma x n é dada por: n x n - 1 .

Nesse caso temos um produto, e usaremos a regra do produto pra derivar. Bom, a regra do produto nos diz que em uma função do tipo f x = g x h ( x ) , a derivada fica:

f ' x = g ' x h x + g x h ' ( x )

Além disso, como temos funções compostas, vamos usar a regra da cadeia, derivando de fora pra dentro...

Passo 2

Na nossa função temos: g x = x + 1 2           e           h x = ( x 2 + 2 x )

Então, pela regra do produto temos:

f ' x = x + 1 2 ' x 2 + 2 x + x + 1 2 ( x 2 + 2 x ) '

Então, derivando:

f ' x = 2 x + 1 x ' x 2 + 2 x + x + 1 2 ( 2 x + 2 )

f ' x = 2 x + 2 x 2 + 2 x + x + 1 2 2 x + 2

f ' x = 2 x + 2 ( x 2 + 2 x + x + 1 2 )

Que é a nossa derivada. Podemos desenvolver as multiplicações ainda e chegaremos em:

f ' x = 4 x 3 + 12 x 2 + 10 x + 2

Resposta

f ' x = 2 x + 2 x 2 + 2 x + x + 1 2 = 4 x 3 + 12 x 2 + 10 x + 2

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