Enunciado

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = 1 θ ,   θ = π

Passo 1

A inclinação da reta tangente à uma função é dada pelo valor de sua primeira derivada, mas para equações polares não basta derivar a função r em relação a θ , precisamos calcular o nosso amado y ' ( x ) , para isso basta que usemos a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Passo 2

Apesar de não ser só calcular d r d θ , vamos ter que calcular ele mesmo assim, hehe

r = 1 θ = θ - 1

Derivada de polinômio segue a regra θ n ' = n θ n - 1 , para n = - 1

d r d θ = - 1 θ - 2 = - 1 θ 2

Passo 3

Agora substituímos o nosso d r d θ na equação

d y d x = - 1 θ 2 sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ - 1 θ 2 cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Substituindo também o r = 1 θ

d y d x = - 1 θ 2 sen ⁡ θ + 1 θ cos ⁡ θ - 1 θ 2 cos ⁡ θ - 1 θ sen ⁡ θ

Substituindo agora θ = π

d y d x = - 1 π 2 sen ⁡ π + 1 π cos ⁡ π - 1 π 2 cos ⁡ π - 1 π sen ⁡ π = - 1 π 2 ( 0 ) + 1 π ( - 1 ) - 1 π 2 ( - 1 ) - 1 π ( 0 )

d y d x = - 1 π + 1 π 2

Fazendo a divisão de fração

d y d x = - 1 π ⋅ π 2 1 = - π

Resposta

d y d x = - π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as equações das tangentes à curva x = 3 t 2 + 1 y = 2 t 3 + 1 Que passam pelo ponto ( 4,3 )
Encontre a inclinação da reta tangente à astroide x = a cos 3 ⁡ θ y = a sen 3 ⁡ θ Em termos de θ .Em que pontos a tangente é horizontal ou vertical?Em que pontos a tangente tem inclinação 1 ou - 1 ?
Em quais pontos na curva x = 2 t 3 y = 1 + 4 t - t 2 A reta tangente tem inclinação 1 .
Calcule a área limitada pela curva x = t 2 - 2 t y = t E pelo eixo y .
Com uma ferramenta gráfica, trace a curva x = cos ⁡ t + 2 cos ⁡ 2 t y = sen ⁡ t + 2 s en ⁡ 2 t Para descobrir onde ela intersepta a si mesma. A seguir, encontre a equação para ambas as tangentes nesse