Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 13
Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
Passo 1
Para calcular a soma parcial vamos dizer que
Onde
Então calcularemos os dez primeiros termos de e tentaremos prever a convergência da série pela analise do gráfico.
Para facilitar um pouco o processo, podemos dizer que
O que está entre parênteses é nada mais, nada menos que o termo anterior da sequencia de somas parciais, então
Passo 2
Vamos calcular as dez primeiras somas parciais
Já deu pra perceber o padrão né? Sempre a segunda fração de um termo cancela com a primeira do próximo, fazendo então com que no -ésimo termo tenhamos a primeira fração do primeiro termo, que no caso é , com a segunda fração do último termo que é , desta forma, o termo geral da soma fica:
Como a questão pede vamos continuar calculando os termos, mas como sabemos qual o termo geral da soma, para saber quanto vale a série, basta jogar no limite.
Passo 3
Montando o gráfico temos:
Onde os pontos azuis são os termos e em vermelho temos .
Podemos ver que os termos então se aproximando de um limite que é , o que é necessário para a convergência da série. Já os termos de parecem se aproximar de um limite, mas com poucos termos assim não podemos dizer qual seria esse limite.
Mas como conhecemos o termo geral da soma, para descobrirmos o valor da série basta aplicarmos o limite:
No limite
Portanto a série