Enunciado

Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.

∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n + 1

Passo 1

Para calcular a soma parcial vamos dizer que

s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n

Onde

a n = 1 n - 1 n + 1

Então calcularemos os dez primeiros termos de s n e tentaremos prever a convergência da série pela analise do gráfico.

Para facilitar um pouco o processo, podemos dizer que

s n = ( a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 1 ) + a n

O que está entre parênteses é nada mais, nada menos que o termo anterior da sequencia de somas parciais, então

s n = s n - 1 + a n

Passo 2

Vamos calcular as dez primeiras somas parciais

s 1 = a 1

s 1 = 1 1 - 1 1 + 1 = 1 - 1 2

s 2 = s 1 + a 2

s 2 = 1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 = 1 - 1 3

s 3 = s 2 + a 3

s 3 = 1 - 1 3 + 1 3 - 1 4 = 1 - 1 2

Já deu pra perceber o padrão né? Sempre a segunda fração de um termo cancela com a primeira do próximo, fazendo então com que no n -ésimo termo tenhamos a primeira fração do primeiro termo, que no caso é 1 , com a segunda fração do último termo que é - 1 / n + 1   , desta forma, o termo geral da soma fica:

s n = 1 - 1 n + 1

Como a questão pede vamos continuar calculando os termos, mas como sabemos qual o termo geral da soma, para saber quanto vale a série, basta jogar no limite.

s 4 = 1 - 1 4 + 1 = 1 - 1 5

s 5 = 1 - 1 5 + 1 = 1 - 1 6

s 6 = 1 - 1 6 + 1 = 1 - 1 7

s 7 = 1 - 1 7 + 1 = 1 - 1 8

s 8 = 1 - 1 8 + 1 = 1 - 1 3

s 9 = 1 - 1 9 + 1 = 1 - 1 10

s 10 = 1 - 1 10 + 1 = 1 - 1 11

Passo 3

Montando o gráfico temos:

Onde os pontos azuis são os termos a n e em vermelho temos s n .

Podemos ver que os termos a n então se aproximando de um limite que é 0 , o que é necessário para a convergência da série. Já os termos de s n parecem se aproximar de um limite, mas com poucos termos assim não podemos dizer qual seria esse limite.

Mas como conhecemos o termo geral da soma, para descobrirmos o valor da série basta aplicarmos o limite:

s n = 1 - 1 n + 1

No limite

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n + 1 = 1

Portanto a série

∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n + 1 = 1

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 n - 1 n + 1 = 1

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Calcule a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 5 com precisão de três casas decimais.
Se sum a_n for divergente e c != 0 , mostre que sum c a_n é divergente.
Suponha que uma série ∑ a n tenha termos positivos e suas somas parciais s n satisfaçam a desigualdade s n ≤ 1.000 para todo n . Explique por que ∑ a n deve ser convergente.
Se ∑ a n for convergente e ∑ b n , divergente, mostre que a série ∑ a n + b n é divergente. [Sugestão: Argumente por contradição.]
75. Considere a série ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 ! Calcule as somas parciais s 1 ,s 2 ,s 3 e s 4 . Você reconhece os denominadores? Use o padrão para conjecturar uma fórmula para s n .Use indução matemática pa