Enunciado

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (x)/((x - 4)^3) d x

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável para tentarmos nos livrar desse termo ao cubo:

u = x - 4

Derivando dos dois lados:

d u = d x + 0 = d x

Substituindo na integral:

int (x)/((x - 4)^3) d x = int (x)/(u^3) d u

Conseguimos substituir o termo (x - 4) e d x , mas falta substituir o termo x , para isso:

u = x - 4 -> x = u + 4

Passo 2

Substituindo na integral:

int (x)/(u^3) d u = int (u + 4)/(u^3) d u

Mexendo nos termos:

int (u + 4)/(u^3) d u = int (u^(- 2) + 4 u^(- 3)) d u

Vamos resolver a integral agora:

int (u^(- 2) + 4 u^(- 3)) d u = (u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + (4 u^(- 3 + 1))/(- 3 + 1) = - (u^(- 1))/(1) - 2 u^(- 2)

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

- u^(- 1) - 2 u^(- 2) = - (1)/(x - 4) - (2)/((x - 4)^2) + C

Fim!!!

Resposta

- (1)/(x - 4) - (2)/((x - 4)^2) + C

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