Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 1 x e - x sec 2 ⁡ e x + 1 d x  

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável do ângulo da secante:

u = e x + 1

Derivando dos dois lados:

d u = x ' e x + 0 d x = x 1 2 ' e x d x = 1 2 x 1 2 - 1 e x d x = 1 2 x - 1 2 e x d x

d u = e x 2 x d x → 2 d u = d x x e - x

Substituindo na integral:

∫ 1 x e - x sec 2 ⁡ e x + 1 d x = ∫ sec 2 ⁡ e x + 1 ∙ d x x e - x = ∫ sec 2 ⁡ u 2 d u

Passo 2

Vamos resolver a integral agora:

2 ∫ sec 2 ⁡ u d u = 2 tan ⁡ u

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

2 tan ⁡ u = 2 tan ⁡ e x + 1 + C

Fim!!!

Resposta

2 tan ⁡ e x + 1 + C

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