Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ x 3 x 2 + 1 d x  

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável para tentarmos nos livrar desse raiz:

u = x 2 + 1

Derivando dos dois lados:

d u = 2 x d x + 0 = 2 x d x

d u 2 = x d x

Substituindo na integral:

∫ x 3 x 2 + 1 d x = ∫ x 2 x 2 + 1 x d x = ∫ x 2 u ∙ d u 2

Conseguimos substituir o termo x 2 + 1 e x d x , mas falta substituir o termo x 2 , para isso:

u = x 2 + 1 → x 2 = u - 1

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ x 2 u ∙ d u 2 = 1 2 ∫ u - 1 u 1 / 2 d u

Fazendo o chuveirinho:

1 2 ∫ u - 1 u 1 / 2 d u = 1 2 ∫ u 3 / 2 - u 1 / 2 d u

Vamos resolver a integral agora:

1 2 ∫ u 3 / 2 - u 1 / 2 d u = 1 2 u 3 2 + 1 3 2 + 1 - u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 1 5 u 5 / 2 - 1 3 u 3 / 2

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

1 5 u 5 / 2 - 1 3 u 3 / 2 = 1 5 x 2 + 1 5 / 2 - 1 3 x 2 + 1 3 / 2 + C

Fim!!!

Resposta

1 5 x 2 + 1 5 / 2 - 1 3 x 2 + 1 3 / 2 + C

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