Calcule a integral definida

∫ e e 2     1 x l n x d x    

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

∫ a x d x = a x ln ⁡ a

Propriedade da exponencial

a b = e b ln ⁡ a

(dica : Pense na integral como uma anti-derivada. )

Passo 2

Fazendo por substituição

U = l n x

du = 1 x dx

Logo nossa integral fica

∫ e e 2     1 x l n x d x   =   ∫     1 u d u

= ln ⁡ u

= ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) )   x = e e ²    

Passo 3

Aplicando os limites de integração à nossa função :

= ln ( lne²) – ln(ln(e))

= ln(2lne) – ln (1)

= ln 2 – 0

= ln2

Resposta

∫ e e 2     1 x l n x d x = l n 2

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