Calcule as integrais nos Exercícios 69 e 70.

∫ 2 r - 1 cos ⁡ 3 2 r - 1 2 + 6 3 2 r - 1 2 + 6 d r  

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição de variável para ver se facilita essa equação feia aí:

u = 3 2 r - 1 2 + 6

Derivando dos dois lados:

d u = 3 ∙ 2 2 r - 1 2 r - 1 ' + 0 d r

d u = 6 2 r - 1 2 d r

d u = 12 2 r - 1 d r

d u 12 = 2 r - 1 d r

Substituindo na integral:

∫ 2 r - 1 cos ⁡ 3 2 r - 1 2 + 6 3 2 r - 1 2 + 6 d r = ∫ cos ⁡ 3 2 r - 1 2 + 6 3 2 r - 1 2 + 6 2 r - 1 d r

∫ cos ⁡ u u ∙ d u 12

Passo 2

Fazendo mais uma mudança de variável:

w = u

Derivando dos dois lados:

d w = d u 2 u

2 d w = d u u

Substituindo na integral:

∫ cos ⁡ u u ∙ d u 12 = 1 12 ∫ cos ⁡ u d u u = 1 12 ∫ cos ⁡ w 2 d w

Passo 3

Vamos resolver a integral agora:

1 12 ∫ cos ⁡ w 2 d w = 1 6 ∫ cos ⁡ w d w = 1 6 sin ⁡ w

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

1 6 sin ⁡ w = 1 6 sin ⁡ u = 1 6 sin ⁡ 3 2 r - 1 2 + 6 + C

Protinho!!!

Resposta

1 6 sin ⁡ 3 2 r - 1 2 + 6 + C

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