Enunciado

O tratamento dialítico remove a uréia e outros resíduos do sangue de uma paciente, desviando um pouco do sangue externamente através de uma máquina chamada dialisador. A taxa na qual a uréia é removida no sangue é frequentemente descrita pela equação

u t = r V * C 0 * e - r t V

Onde r é a taxa de sangue baixo através do dialisador (em m L / m i n ), V é o volume de sangue do paciente (em m L ), e C 0 é a quantidade de ureia no sangue (em m g ) no instante t = 0 . Calcule a integral ∫ 0 30 u t d t e a interprete.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer a gente calcule a seguinte integral:

∫ 0 30 r V * C 0 * e - r t V d t

Onde:

  • r é a taxa de sangue baixo através do dialisador (em m L / m i n ⁡ ) ;
  • V é o volume de sangue do paciente (em m L );
  • C 0 é a quantidade de ureia no sangue (em m g ) .

Depois de resolvida, a questão nos pede para interpretar a integral que resolvemos.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Então... colocando as constantes para fora da integral, temos:

r V * C 0 * ∫ 0 30 e - r t V d t

Fazendo u = r t V ∴ d u = r V d t , temos os seguintes intervalos de integração:

  1. r t V → 30 r V

0 → 0

Assim, fazendo a substituição na integral, temos:

r V * C 0 * ∫ 0 30 r V e - u V r d u ∴

C 0 * ∫ 0 30 r V e - u d u

Resolvendo a integral da exponencial, encontramos:

= C 0 1 - e - 30 r V

Esse valor que descobrimos trata-se da quantidade total de ureia removida após os 30 primeiros minutos de diálise.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

C 0 1 - e - 30 r V

Esse valor que descobrimos trata-se da quantidade total de ureia removida após os 30 primeiros minutos de diálise.

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