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Calcule a integral

∫ π 6 π 3 csc 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos resolver esta integral pelo método de integração por partes. Vamos resolver primeiro como se fosse uma integral indefinida e depois colocamos os limites de integração, daí ficamos com

∫ csc 3 ⁡ x d x = ∫ c s c x csc 2 ⁡ ( x ) d x  

Seja u = c s c ⁡ ( x ) , temos que d u = - csc ⁡ x cot ⁡ x d x

Seja d v = csc 2 ⁡ ( x ) , temos que v = - c o t ⁡ ( x )

  ∫ c s c x csc 2 ⁡ x d x = - csc ⁡ x cot ⁡ x - ∫ c s c x cot 2 ⁡ ( x ) d x

Agora, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: csc 2 ⁡ ( x ) = cot 2 ⁡ ( x ) + 1 . Então, substituindo

- csc ⁡ x cot ⁡ x - ∫ c s c x cot 2 ⁡ x d x = - csc ⁡ x cot ⁡ x - ∫ c s c x csc 2 ⁡ x - 1 d x = - csc ⁡ x cot ⁡ x - ∫ csc 3 ⁡ x - c s c x d x

Podemos separar a integral em duas, portanto

- csc ⁡ x cot ⁡ x - ∫ csc 3 ⁡ x - c s c x d x = - csc ⁡ x cot ⁡ x - ∫ csc 3 ⁡ x d x + ∫ c s c x d x

Passo 2

Agora, vamos fazer o seguinte

∫ csc 3 ⁡ x d x = - csc ⁡ x cot ⁡ x - ∫ csc 3 ⁡ x d x + ∫ c s c x d x

2 ∫ csc 3 ⁡ x d x = - csc ⁡ x cot ⁡ x + ∫ c s c x d x

Então

∫ csc 3 ⁡ x d x = 1 2 - csc ⁡ x cot ⁡ x + ∫ c s c x d x

Passo 3

Agora, vamos resolver separadamente a integral

∫ c s c x d x

Vamos fazer o seguinte, vamos multiplicar toda a integral pelo fator

csc ⁡ x - cot ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x

Daí, ficamos com

∫ csc ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x = ∫ - csc ⁡ x cot ⁡ x + csc 2 ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x

Agora, podemos resolver pelo método da substituição

Seja u = csc ⁡ x - cot ⁡ x , temos que d u = - csc ⁡ x cot ⁡ x - - csc 2 ⁡ x . Substituindo

∫ - csc ⁡ x cot ⁡ x + csc 2 ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x = ∫ d u u = ln ⁡ u = ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x

Passo 4

Agora, podemos substituir o que encontramos, então

∫ csc 3 ⁡ x d x = 1 2 - csc ⁡ x cot ⁡ x - ∫ c s c x d x

∫ csc 3 ⁡ x d x = 1 2 - csc ⁡ x cot ⁡ x + ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x

Por último, só falta adicionarmos os limites de integração

∫ π 6 π 3 csc 3 ⁡ ( x ) d x = 1 2 - csc ⁡ x cot ⁡ x + ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x π 6 π 3 = 1 2 - 2 3 ⋅ 1 3 + ln ⁡ 2 3 - 1 3 - 1 2 [ - 2 ⋅ 3 + ln ⁡ 2 - 3 = - 1 3 + 3 + 1 2 ln ⁡ 1 3 - 1 2 ln ⁡ 2 - 3 ≈ 1,7825  

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ π 6 π 3 csc 3 ⁡ ( x ) d x ≈ 1,7825

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