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Calcule a integral.

∫ x x 4 - a 4 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com uma expressão elevada a 4 , podemos tentar fazer com que u seja uma parte dessa expressão, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x 2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x → x d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x x 4 - a 4 d x = ∫ 1 2 ( u 2 - ( a 2 ) ² )   d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ d x x 2 - a 2 = 1 2 a ln ⁡ x - a x + a + C

Então ficamos com:

∫ 1 2 ( u 2 - ( a 2 ) ² )   d u = 1 2 ∫ 1 u 2 - ( a 2 ) ²   d u = 1 2 ∙ 1 2 a 2 ln ⁡ u - a 2 u + a 2 + C = 1 4 a 2 ln ⁡ u - a 2 u + a 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = x 2 :

∫ x x 4 - a 4 d x = ∫ 1 2 ( u 2 - ( a 2 ) ² )   d u = 1 4 a 2 ln ⁡ u - a 2 u + a 2 + C = 1 4 a 2 ln ⁡ x 2 - a 2 x 2 + a 2 + C

Resposta

∫ x x 4 - a 4 d x = 1 4 a 2 ln ⁡ x 2 - a 2 x 2 + a 2 + C

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