Calcule a integral.

∫ sen 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Usando a identidade trigonométrica que diz que cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1 , podemos reescrever a função como:

∫ sen 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x = ∫ sen 3 ⁡ x ( 1 - sen 2 ⁡ x ) cos ⁡ x d x

Distribuindo, temos:

∫ sen 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x = ∫ ( sen 3 ⁡ x - sen 5 ⁡ x ) cos ⁡ x d x

Vamos calcular essa integral por substituição do tipo u d u , chamaremos:

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x d x

Aplicando na substituição, temos:

∫ sen 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x = ∫ ( u 3 - u 5 ) d u

∫ sen 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x = u 4 4 - u 6 6 + C

Substituindo u = sen ⁡ x :

∫ sen 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x = s e n 4 x 4 - s e n 6 x 6 + C

Resposta

∫ sen 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x d x = s e n 4 x 4 - s e n 6 x 6 + C

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