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Calcule a integral.

∫ x 2 senh ⁡ m x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já está simplificada, então vamos ver se dá para usar Substituição Simples. Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então vamos tentar Integração por Partes:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x   d x

Vamos fazer então f x = x 2 e g ' x = senh ⁡ m x d x :

f ' x = 2 x d x e g x = 1 m cosh ⁡ m x

Vamos substituir agora:

∫ x 2 senh ⁡ m x d x = x 2 m cosh ⁡ m x - ∫ 2 x m cosh ⁡ m x d x = x 2 m cosh ⁡ m x - 2 m ∫ x cosh ⁡ m x d x

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes novamente:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x   d x

Vamos fazer então f x = x e g ' x = cosh ⁡ m x d x :

f ' x = d x e g x = 1 m senh ⁡ m x

Vamos substituir agora:

∫ x cosh ⁡ m x d x = x m sen h ⁡ m x - ∫ 1 m sen h ⁡ m x d x = x m senh ⁡ m x - 1 m ∫ senh ⁡ m x d x

É fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ senh ⁡ x   d x = cosh ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ x cosh ⁡ m x d x = x m senh ⁡ m x - 1 m ∫ senh ⁡ m x d x = x m senh ⁡ m x - 1 m 2 cosh ⁡ m x + C

Passo 3

Agora voltando a primeira expressão:

∫ x 2 senh ⁡ m x d x = x 2 m cosh ⁡ m x - 2 m ∫ x cosh ⁡ m x d x = x 2 m cosh ⁡ m x - 2 m x m senh ⁡ m x - 1 m 2 cosh ⁡ m x + C

Resposta

∫ x 2 senh ⁡ m x d x = x 2 m cosh ⁡ m x - 2 m x m senh ⁡ m x - 1 m 2 cosh ⁡ m x + C

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Calcule a integral. ∫ x + sen ⁡ x 2 d x
Calcule a integral. ∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ - 1 0 t 2 e - t d t
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x
Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
Calcule a integral: ∫ r e r / 2 d r