Calcule a integral

∫ 1 4 ln ⁡ x 3 2 x   d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ 1 4 ln ⁡ x 3 2 x   d x

A sua integral indefinida é dada por.

∫ ln ⁡ x 3 2 x   d x

Vamos fazer uma mudança de variáveis. Se chamarmos u = ln ⁡ x , teremos d u = d x / x . Fazendo esta mudança na integral, obtemos:

∫ ln ⁡ x 3 2 x   d x = ∫ u 3 2   d u

Passo 3

Vamos resolver a integral indefinida ∫ u 3 2   d u . Temos então:

∫ u 3 2   d u = 1 2 ⋅ u 4 4 + k

∫ u 3 2   d u = u 4 8 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

u 4 8 + k = ln ⁡ x 4 8 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos tratando de integrais indefinidas!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ 1 4 ln ⁡ x 3 2 x   d x = ln ⁡ x 4 8 1 4

∫ 1 4 ln ⁡ x 3 2 x   d x = ln ⁡ 4 4 8 - ln ⁡ 1 4 8

∫ 1 4 ln ⁡ x 3 2 x   d x = 2 ln ⁡ 2 4 8 - 0 8

∫ 1 4 ln ⁡ x 3 2 x   d x = 16 ln ⁡ 2 4 8 = 2 ln ⁡ 2 4

Resposta

∫ 1 4 ln ⁡ x 3 2 x   d x = 2 ln ⁡ 2 4

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