Calcule a integral

∫ e sec ⁡ π t sec ⁡ π t tg ⁡ π t   d t

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ e sec ⁡ π t sec ⁡ π t tg ⁡ π t   d t

Se chamarmos u = sec ⁡ π t , consequentemente, teremos d u = π ⋅ sec ⁡ π t ⋅ tg ⁡ π t d t . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ e sec ⁡ π t sec ⁡ π t tg ⁡ π t   d t = ∫ e u π   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

∫ e u π   d u = e u π + k

Voltando para a variável inicial, temos:

e u π + k = e sec ⁡ π t π + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

∫ e sec ⁡ π t sec ⁡ π t tg ⁡ π t   d t = e sec ⁡ π t π + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

∫ e sec ⁡ π t sec ⁡ π t tg ⁡ π t   d t = e sec ⁡ π t π + k

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