Calcule a integral:

∫ 0 π tan ⁡ x 3   d x

Passo 1

Galera, primeiro vamos reescrever a integral :

∫ 0 π sin ⁡ x 3 cos ⁡ x 3   d x

para realizar essa integração vamos realizar a seguinte substituição:

u = cos ⁡ x 3

d u = - 1 3 sin ⁡ x 3   d x

Assim,

∫ 0 π sin ⁡ x 3 cos ⁡ x 3   d x =   ∫ 0 π sin ⁡ x 3 u - 3 sin ⁡ x 3   d u

∫ 0 π - 3 u   d u =   - 3 ln ⁡ u + C

Passo 2

Agora, voltamos para a variável inicial e aplicamos os limites de integração:

= -   3 ln ⁡ ( cos ⁡ x 3 π 0

= - 3 ln ⁡ ( cos ⁡ π 3 - cos ⁡ 0   )  

=   - 3 ln ⁡ 1 2 - 1

=   - 3 ln ⁡   - 1 2

Resposta

- 3 ln ⁡   - 1 2

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