Calcule a integral.

∫ x e 3 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ x e 3 x d x

E supondo:

u = x e d v = e 3 x d x

Conseguimos encontrar:

d u = d x

E:

v = ∫ e 3 x d x

Que, resolvendo através da substituição com a = 3 x , tal que d a = 3 d x , obtemos:

v = ∫ e a d a 3 = 1 3 e a

Ou seja:

v = 1 3 e 3 x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ x e 3 x d x = x 1 3 e 3 x - ∫ 1 3 e 3 x d x

Que pode ser reescrita como:

∫ x e 3 x d x = 1 3 x e 3 x - 1 3 ∫ e 3 x d x

Como a integral do lado direito da equação já foi calculada no Passo 2 e é o resultado de v , podemos reaproveitar isso. Logo:

∫ x e 3 x d x = 1 3 x e 3 x - 1 3 1 3 e 3 x + C

∫ x e 3 x d x = 1 3 x e 3 x - 1 9 e 3 x + C

Passo 4

Por fim, podemos tirar o fator comum desse resultado obtido para ter como resposta final:

∫ x e 3 x d x = 1 3 e 3 x x - 1 3 + C

Resposta

∫ x e 3 x d x = 1 3 e 3 x x - 1 3 + C

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