Calcule a integral.

∫ a r c s e n   ( x ) 2   d x

Passo 1

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( x ) e g ( x ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f x g ' x = f x g x - ∫ f ' x g ( x )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f ( x ) . Assim:

f x = a r c s e n x 2         e           g ' x = 1 d x

Derivando f e integrando g ' , temos:

f x = a r c s e n   x 2 ⇒ f ' x = 2 a r c s e n x 1 1 - x 2

g ' x = 1 d x ⇒ g x = ∫   d x = x

Passo 2

Aplicando os resultados obtidos na fórmula citada no passo anterior, temos:

∫ a r c s e n x 2   d x =   x   a r c s e n 2 x - ∫ 2 x   a r c s e n x 1 - x 2 d x =  

= x   a r c s e n 2 x - 2 ∫ x   a r c s e n   ( x ) 1 - x 2   d x

Passo 3

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

f 1 x = a r c s e n x     e       g 1 ' ( x ) = 1 1 - x 2   x

Derivando f e integrando g ' , temos:

f 1 x = a r c s e n   ( x ) ⇒ f 1 ' x = 1 1 - x 2

g 1 ' x = x 1 - x 2 ⇒ g 1 x = ∫ x 1 - x 2   d x

Para resolver g 1 x devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u )   e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.Logo:

u = 1 - x 2 ⇒ d u =   - 2 x   d x ⇒ - d u 2 = x   d x

⇒ g 1 ⇒ ∫ x 1 - x 2 d x = ∫ - 1 2 1 u   d u = - 1 2 ∫ u - 1 2 d u = - 1 2 u 1 2 × 2 =   - u = - 1 - x 2  

Lembre-se que a integração polinomial é dada por:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Então, podemos escrever que:

∫ x   a r c s e n   ( x ) 1 - x 2   d x = - a r c s e n   x 1 - x 2 - ∫ 1 1 - x 2 - 1 - x 2 d x =

=   - a r c s e n x 1 - x 2 + ∫ d x   =   - a r c s e n x 1 - x 2 + x + C

Passo 4

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

∫ a r c s e n x 2   d x =   x   a r c s e n 2 x - 2 ∫ x   a r c s e n x 1 - x 2 d x =  

= x   a r c s e n 2 x - 2 - a r c s e n x 1 - x 2 + x + C =

= x   a r c s e n 2 x + 2 a r c s e n x 1 - x 2 - 2 x + C

Resposta

x   a r c s e n 2 x + 2 a r c s e n x 1 - x 2 - 2 x + C

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