Calcule a integral.

∫ c o t g 5 θ   s e n 4 θ   d θ

Passo 1

Em integrais assim, geralmente é sempre bom deixar tudo em termos de senos e cossenos. Como c o t g   θ = cos ⁡ θ / s e n   θ , temos que

∫ c o t g 5 θ   s e n 4 θ   d θ = ∫ cos 5 ⁡ θ s e n 5 θ ⋅ s e n 4 θ   d θ = ∫ cos 5 ⁡ θ s e n   θ   d θ

Como o expoente do cosseno é ímpar, vamos separá-lo: cos 5 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ 2 cos ⁡ θ . Assim,

∫ c o t g 5 θ   s e n 4 θ   d θ = ∫ 1 - s e n 2 θ 2 s e n   θ cos ⁡ θ   d θ

Fazendo u = sen ⁡ θ , temos que d u = cos ⁡ θ   d θ .

Passo 2

Fazendo a mudança de variável:

∫ c o t g 5 θ   s e n 4 θ   d θ = ∫ 1 - u 2 2 u   d u = ∫ 1 u - 2 u + u 3 d u = ln ⁡ | u | - u 2 + u 4 4 + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

∫ c o t g 5 θ   s e n 4 θ   d θ = ln ⁡ | s e n   θ | - s e n 2 θ + 1 4 s e n 4 θ + C

Resposta

ln ⁡ | s e n   θ | - s e n 2 θ + 1 4 s e n 4 θ + C

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