Enunciado

Calcule a integral.

22 . int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u

Então... Temos uma integral definida e sabemos que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (u) d u = F (b) - F (a)

Em que F ' = f .

Também devemos saber que, pela propriedade 3:

int_a^b c f (u) d u = c int_a^b f (u) d u

Onde c é qualquer constante.

Também vamos usar a fato de que, pela propriedade 4:

int_a^b [f (x) + g (x)] d x = int_a^b f (x) d x + int_a^b g (x) d x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a propriedade 4, temos:

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = int_0^1 1 d u + int_0^1 ((1)/(2) u^4) d u - int_0^1 ((2)/(5) u^9) d u

Dessa forma, removendo as constantes para fora da integral (propriedade 3), temos:

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = int_0^1 d u + (1)/(2) int_0^1 (u^4) d u - (2)/(5) int_0^1 (u^9) d u

Passo 3

Sabemos que:

((u^(n + 1))/(n + 1))^' = u^n

Assim, aplicando nas nossas integrais, temos:

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = (u + ((1)/(2) u^5)/(5) - ((2)/(5) u^(10))/(10))^' :.

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = 1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9

Passo 4

E, aplicando os limites de integração, temos:

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = ((u + ((1)/(2) u^5)/(5) - ((2)/(5) u^(10))/(10))|_0^1 :.

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = 1 + ((1)/(2))/(5) - ((2)/(5))/(10) - (0 + (0)/(5) - (0)/(10)) :.

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = 1 + (1)/(10) - (2)/(50) :.

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = (50 + 5 - 2)/(50) :.

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = (53)/(50)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int_0^1 (1 + (1)/(2) u^4 - (2)/(5) u^9) d u = (53)/(50)

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