d) ∫ 0 1 x   1 - x 2   d x    

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável. Vamos pegar 1 - x 2 que é a mais complexa e chamar de u

u =   1 - x 2   ( * )

Derivando,

d u =   - 2 x   d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 → u = 1 - 0 2 = 1   x = 1 → u = 1 - 1 2 = 0

Repare que quando derivamos apareceu d u =   - 2 x d x que é basicamente - d u 2 = x   d x Nossa integral era:

∫ 0 1 x   1 - x 2   d x   =   ∫ 0 1 1 - x 2   x   d x  

E vai ficar assim ó:

∫ 1 0 - u d u 2 = - 1 2 ⋅ ∫ 1 0 u   d u  

  Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1  

Passo 3

Agora vamos terminar!

- 1 2 ⋅ ∫ 1 0 u   d u = - 1 2 ⋅ u 1 2 + 1 1 + 1 2 ​ 1 0 = - ( 0 3 2 3 - 1 3 2 3 ) = 1 3

Resposta

1 3

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