j) ∫ 0 1 s s 2 + 1   d s

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com aquela raiz ali embaixo:

u = s 2 + 1       ( * )

Derivando,

d u = 2 s   d s

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

s = 0 → u = 0 2 + 1 = 1

s = 1 → u =   1 2 + 1 = 2

Repara que quando derivamos apareceu que   d u =   2 s   d s que é basicamente d u 2 = s   d s

Nossa integral era:

∫ 0 1 s s 2 + 1   d s =   ∫ 0 1 1 s 2 + 1   s   d s e vai ficar assim ó:

∫ 1 2 1 u   d u 2   Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1   quando   n   ≠ - 1  

Passo 3

Agora é só terminar!

∫ 1 2 1 u   d u 2   = 1 2 ⋅ ∫ 1 2 d u u = 1 2 ⋅ u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1   | 1 2 = 1 2 ⋅ u 1 2 | 1 2 =   u | 1 2 =   2 - 1

Resposta

2 - 1

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