Calcule a integral definida

∫ 0 1       x 1 + x x   d x  

Passo 1

Vamos lembrar algumas Propriedades de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Essa é uma questão engraçada. Tem tantas raízes eu a gente pode ate se perder. Vamos fazer o seguinte. Primeiro vamos mudar a notação dessas raizes

∫ 0 1       x 1 + x x   d x =   ∫ 0 1       x 1 2 1 + x 3 2 1 / 2   d x  

Pronto. Está bem melhor !!!

Passo 3

Já sabe, a equação ficou estranha vamos fazer substituição. Não precisa nem pensar muito. E mantenha o foco de tentar deixar dentro do argumento da raiz apenas um termo. Então é ali que vamos substituir.

u = 1 + x 3 2

d u   = 3 2 x 1 2   d x → 2 3 d u =   x 1 2   d x    

  assim

∫       x 1 2 1 + x 3 2 1 2 d x = ∫ 2 3 u 1 / 2 d u  

ajustando os limites de integração s e   x = 0   ,   e n t a o   u = 1

s e   x = 1   ,   e n t a o   u   =   2  

Então temos : ∫ 1 2 2 3 u   d u

=   4 9 u 3 / 2 u = 1 2

=   4 9   2 2 - 1    

Resposta

∫ 0 1       x 1 + x x   d x =   4 9   2 2 - 1  

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