g)   ∫ 1 2 3 s 1 + s 2 d s  

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável. Vamos chamar 1 + s 2 de u porque quando fizermos a derivada fica assim ó:

u =   1 + s 2       ( * )

Derivando,    

d u =   2 s   d s

Viu que apareceu s   d s , né?

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

s = 1 → u = 1 + 1 2 = 2

e   s = 2 → u =   1 + 2 2 = 5

Repara que quando derivamos apareceu que   d u =   2 s d s   que é basicamente   d u 2 = s   d s 😉

Nossa integral era:

∫ 1 2 3 s 1 + s 2 d s   =   ∫ 1 2 3 1 + s 2 s d s  

e vai ficar assim ó:

  ∫ 2 5 3 u d u 2

Não esquece: ∫ d u u = ln ⁡ | u | + c  

Passo 3

Agora é só terminar!

∫ 2 5 3 u du 2 = 3 2 ⋅ ∫ 2 5 du u  = 3 2 ⋅ ln ⁡ | u | | 2 5 = 3 2 ⋅ ln ⁡ 5 - ln ⁡ 2 = 3 2 ⋅ ln ⁡ 5 2

Resposta

3 2 ln ⁡ 5 2

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