f) ∫ 0 1 x 1 + 2 x 2   d x    

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável. Olhou pra dentro da raiz e já viu né? Vamos chamar 1 + 2 x 2 de u porque quando fizermos a derivada fica assim ó:

u =   1 + 2 x 2       ( * )

Derivando,

d u =   4 x   d x

Viu que apareceu o produto x   d x , né?

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 → u = 1 + 2 ⋅ 0 2 = 1

x = 1 → u =   1 + 2 ⋅ 1 2 = 3

Repara que quando derivamos apareceu que   d u =   4 x   d x   que é basicamente   d u 4 = x   d x 😉

  Nossa integral era:

∫ 0 1 x 1 + 2 x 2   d x   = ∫ 0 1 1 + 2 x 2   x   d x  

e vai ficar assim ó:

∫ 1 3 u d u 4  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

∫ 1 3 u d u 4       = 1 4 ⋅ ∫ 1 3 u   d u = 1 4 ⋅ u 1 2 + 1 1 + 1 2 ​ 1 3 =   1 4 ⋅ 2 3 3 3 2 - 1 3 2 = 1 6 ⋅ ( 3 3 - 1 )    

Resposta

1 6 ( 3 3 - 1 )

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