Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x)/(1 + x^4) d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Vamos lá, nesse exemplo a substituição não é óbvia, por isso vou reescrever a integral:

int (x)/(1 + x^4) d x = int (x)/(1 + (x^2)^2) d x

Assim, a substituição u = x^2 deve resolver nosso problema!

Passo 2

Fazendo u = x^2 , segue que d u = 2 x d x . Assim, temos que x d x = d u // 2 e a integral fica

int (x)/(1 + x^4) d x = (1)/(2) int (1)/(1 + u^2) d x = (1)/(2) a r c t g u + C

Aqui foi preciso lembrar que a derivada do arco tangente é 1 // ( 1 + x^2 ) .

Passo 3

Voltando a variável original:

int (x)/(1 + x^4) d x = (1)/(2) a r c t g x^2 + C

Resposta

(1)/(2) a r c t g x^2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f for contínua e ∫ 0 9 f x d x = 4 , encontre ∫ 0 3 xf x 2d x .
Se f for contínua e ∫ 0 4 f x d x = 10 , encontre a integral ∫ 0 2 f 2 xd x .
Se a e b forem número positivos, mostre queint_0^1 x^a (1 - x)^b d x = int_0^1 x^b (1 - x)^a d x
Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ). ∫ xx 2 - 1 3d x
Se f for contínua em [ 0 , π ] , use a substituição u = π - x para demonstrar que ∫ 0 π xf s e nxd x = π 2∫ 0 π f s e nxd x