Calcule a integral:

∫ 0 π 2 2   s e n h   s e n   θ cos ⁡ θ d θ  

Passo 1

Vamos usar uma substituição para facilitar nosso trabalho:

u = s e n   θ → d u = cos ⁡ θ   d θ

Assim, vamos escrever a integral indefinida:

∫ 2   s e n h   u   d u  

Vamos resolver em u , e depois voltamos para a variável θ ...

∫ 2   s e n h   u   d u = 2   c o s h   u + C = 2 cosh ⁡ s e n θ | π 2 0  

Passo 2

Vamos jogar os limites de integração agora e resolver:

2 cosh ⁡ ( s e n   θ ) |   0 π 2 = 2   ( cosh ⁡ 1 - cosh ⁡ 0 )  

Sabendo que cosh ⁡ x =   e x + e - x 2 então vamos substituir e encontrar o valor da integral:

2   ( cosh ⁡ x =   e 1 + e - 1 2 - e 0 + e 0 2 =   e 1 + e - 1 - e 0 - e 0 2 =   e + e - 1 - 2

E pronto!

Resposta

e + e - 1 - 2

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