Calcule a integral :

∫ 2 - cos ⁡ x + sin ⁡ x   sin 2   ⁡ x   d x

Passo 1

Galera, o primeiro passo será reescrever essa integral, para facilitar nossos cálculos. Beleza?

∫ 2 sin 2 ⁡ x d x -   ∫ cos ⁡ x sin 2   ⁡ x d x +   ∫ sin ⁡ x sin 2   ⁡ x d x

= 2   ∫ csc 2 ⁡ x   d x -   ∫ cos ⁡ x sin 2   ⁡ x d x + ∫ 1 sin 2 ⁡ x d x

= 2   ∫ csc 2 ⁡ x   d x -   ∫ cos ⁡ x sin 2   ⁡ x d x + ∫ csc ⁡ x d x

Passo 2

Agora, vamos calcular separadamente a integral ∫ cos ⁡ x sin 2   ⁡ x d x e depois voltaremos para substituir, beleza?

Nessa integral, utilizaremos o método da substituição:

Chamaremos u = sin ⁡ x   d u = cos ⁡ x  

Assim,

∫ d u u 2 =   - 1 u =   -   1 sin ⁡ x

Passo 3

Agora, é só substituir:

2   ∫ csc 2 ⁡ x   d x -   ∫ cos ⁡ x sin 2   ⁡ x d x + ∫ csc ⁡ x d x

= 2   cot ⁡ x + 1 sin ⁡ x + ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + C  

Resposta

2   cot ⁡ x + 1 sin ⁡ x + ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + C

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