Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x^2)/(sqrt(1 - x)) d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Essa integral vai exigir de nós um certo malabarismo: sabemos integrar funções potência com facilidadade, então seria muito útil deixa o denominador como uma potência de alguma variável (a potência pode ser fracionária). Vamos fazer isso tomando u = 1 - x . Assim, d u = - d x e além disso, x = 1 - u , de modo que x^2 = (1 - u)^2 .

Passo 2

Fazendo a mudança de variável, a integral fica

int (x^2)/(sqrt(1 - x)) d x = int ((1 - u)^2)/(sqrt(u)) ( - d u ) = - int (1 - 2 u + u^2)/(u^(1 // 2)) d u = int ( 2 u^(1 // 2) - u^(3 // 2) - u^(- 1 // 2) ) d u

Efetuando a integral:

int (x^2)/(sqrt(1 - x)) d x = 2 (u^(3 // 2))/(3 // 2) - (u^(5 // 2))/(5 // 2) - (u^(1 // 2))/(1 // 2) + C = (4)/(3) sqrt(u^3) - (2)/(5) sqrt(u^5) - 2 sqrt(u) + C

Passo 3

Voltando a variável original:

int (x^2)/(sqrt(1 - x)) d x = (4)/(3) sqrt(( 1 - x )^3) - (2)/(5) sqrt(( 1 - x )^5) - 2 sqrt(1 - x) + C

Resposta

(4)/(3) sqrt(( 1 - x )^3) - (2)/(5) sqrt(( 1 - x )^5) - 2 sqrt(1 - x) + C

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