Calcule a integral definida abaixo:

∫ π 3 π c o t g 2 x 6     d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ π 3 π c o t g 2 x 6     d x

u = x 6 d u = 1 6 d x   ⇒ 6 d u   = d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ π 3 π c o t g 2 x 6     d x =   ∫ π 3 π c o t g 2 u × 6   d u   = 6 ∫ π 3 π c o t g 2 u d u

Passo 3

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

c o t g 2 u + 1 = csc 2 ⁡ u

Vamos aplicar também a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Assim, temos que:

6 ∫ π 3 π c o t g 2 u d u = 6 ∫ π 3 π ( csc 2 ⁡ u - 1 )   d u = 6 ∫ π 3 π csc 2 ⁡ u   d u - 6 ∫ π 3 π d u    

Passo 4

Integrando e substituindo u pela função que atribuímos, temos:

6 ∫ π 3 π csc 2 ⁡ u   d u - 6 ∫ π 3 π d u   =   6 - c o t g u 3 π π -   6 u 3 π π   =

=   6 - c o t g x 6 3 π π -   6 x 6 3 π π  

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

  6   - c o t g x 6 3 π π -   6 x 6 3 π π   =   6 ( - c o t g 3 π 6 - - c o t g π 6 - 6 3 π 6 - π 6 =

= 6 3 - 2 π

Resposta

6 3 - 2 π

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