Enunciado

Calcule a integral definida abaixo:

int_(pi)^(3 pi) c o t g^2 ((x)/(6)) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_(pi)^(3 pi) c o t g^2 ((x)/(6)) d x

u = (x)/(6) d u = (1)/(6) d x => 6 d u = d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_(pi)^(3 pi) c o t g^2 ((x)/(6)) d x = int_(pi)^(3 pi) c o t g^2 (u) xx 6 d u = 6 int_(pi)^(3 pi) c o t g^2 (u) d u

Passo 3

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

c o t g^2 (u) + 1 = csc^2 u

Vamos aplicar também a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que:

6 int_(pi)^(3 pi) c o t g^2 (u) d u = 6 int_(pi)^(3 pi) ( csc^2 (u) - 1 ) d u = 6 int_(pi)^(3 pi) csc^2 (u) d u - 6 int_(pi)^(3 pi) d u

Passo 4

Integrando e substituindo u pela função que atribuímos, temos:

6 int_(pi)^(3 pi) csc^2 (u) d u - 6 int_(pi)^(3 pi) d u = 6 (- c o t g (u)) (3 pi)/(pi) - 6 (u) (3 pi)/(pi) =

= 6 (- c o t g ((x)/(6))) (3 pi)/(pi) - 6 ((x)/(6)) (3 pi)/(pi)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

6 (- c o t g ((x)/(6))) (3 pi)/(pi) - 6 ((x)/(6)) (3 pi)/(pi) = 6 ( - c o t g ((3 pi)/(6)) - (- c o t g ((pi)/(6))) - 6 ((3 pi)/(6) - (pi)/(6)) =

= 6 sqrt(3) - 2 pi

Resposta

6 sqrt(3) - 2 pi

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