Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (cos sqrt(t))/(sqrt(t)) d t

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos sqrt(t) no denominador e o mesmo no cosseno, podemos então usar a mudança de variável:

u = sqrt(t)

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = (1)/(2 sqrt(t)) d t -> (1)/(sqrt(t)) d t = 2 d u

Vamos agora fazer a substuição:

int (cos sqrt(t))/(sqrt(t)) d t = int 2 cos u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

int 2 cos u d u = 2 int cos u d u = 2 sen u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = sqrt(t) :

int (cos sqrt(t))/(sqrt(t)) d t = int 2 cos u d u = 2 sen u + C = 2 sen sqrt(t) + C

Resposta

int (cos sqrt(t))/(sqrt(t)) d t = 2 sen sqrt(t) + C

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