Calcule a integral indefinida.

∫ cos ⁡ t t   d t

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos t   no denominador e o mesmo no cosseno, podemos então usar a mudança de variável:

u = t

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 2 t   d t → 1 t   d t = 2 d u

Vamos agora fazer a substuição:

∫ cos ⁡ t t   d t = ∫ 2 cos ⁡ u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 cos ⁡ u d u = 2 ∫ cos ⁡ u d u = 2 sen ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = t :

∫ cos ⁡ t t   d t = ∫ 2 cos ⁡ u d u = 2 sen ⁡ u + C = 2 sen ⁡ t + C

Resposta

∫ cos ⁡ t t   d t = 2 sen ⁡ t + C

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