Calcule a integral definida, se ela existir.

∫ t 1 + t 3 d t

Passo 1

Como todo estudante, desejamos resolver essa integral da forma mais simples possível. Dessa forma, vamos utilizar uma substituição bastante sagaz que vai facilitar bastante nossa vida, então, fazendo

u = t 6 → t = u 6 → 1 = 6 u 5 ⋅ d u d t → d t = 6 u 5   d u

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ u 3 ⋅ 6 u 5   d u 1 + u 2 = 6 ∫ u 8   d u 1 + u 2

Passo 2

Agora, como temos que o polinômio do numerador tem grau maior que o polinômio do denominador podemos fazer a divisão de polinômio e vamos obter o seguinte

u 8 1 + u 2 = u 6 - u 4 + u 2 - 1 + 1 u 2 + 1

Logo, nossa integral pode ser reescrita como

6 ⋅ ∫ u 8   d u 1 + u 2 = 6 ⋅ ∫ u 6 - u 4 + u 2 - 1 + 1 u 2 + 1   d u

6 ⋅ u 7 7 - u 5 5 + u 3 3 + u 3 3 - u + A r c t a n u + C

Retornando para a variável t de origem vamos ter

6 ⋅ t 6 7 7 - ( t 6 ) 5 5 + ( t 6 ) 3 3 + ( t 6 ) 3 3 - t 6 + A r c t a n t 6 + C

Resposta

6 ⋅ t 6 7 7 - ( t 6 ) 5 5 + ( t 6 ) 3 3 + ( t 6 ) 3 3 - t 6 + A r c t a n t 6 + C

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