Calcule a integral indefinida.

∫ sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

∫ sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = tan ⁡ x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u d x = sec 2 ⁡ x ∴

d u = sec 2 ⁡ x d x

Assim, reescrevendo na integral, obtemos:

∫ sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x = ∫ d u u 2

Bem mais agradável e imediata, não? Agora vamos resolver ela!!

Passo 3

Agora ficou bem mais simples integrar e mais imediato também, então, teremos:

∫ sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x = ∫ d u u 2 ∴

= ∫ u - 2 d u ∴

= u - 2 + 1 - 2 + 1 + C ∴

= u - 1 - 1 + C ∴

Sendo assim:

∫ sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x = - 1 u + C

Por fim, retornando para a variável x de origem vamos obter:

∫ sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x = - 1 tan ⁡ x + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x = - 1 tan ⁡ x + C

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