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Calcule a integral dupla.

∬ D y 3 d A

D é a região triangular com vértices 0,2 ,   ( 1,1 ) e ( 3,2 ) .

Passo 1

Primeiramente vamos analisar a região D :

Para representar essa região como sendo do tipo I teríamos que dividir ela em duas, então, vamos representa-la como sendo do tipo II, podemos tirar a variação de y entre as constantes 1 e 2 , já x está entre duas retas, para saber qual maior, vamos traçar uma seta horizontal

Passo 2

A primeira reta passa por ( 1,1 ) e ( 0,2 ) , a inclinação é

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 = 1 - 2 1 - 0 = - 1

E a reta é

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 1 = - 1 ( x - 1 )

y = - x + 2

Isolando o x

x = 2 - y

A outra reta passa por ( 1,1 ) e ( 3 , 2 ) tem inclinação

m = 1 - 2 1 - 3 = - 1 - 2 = 1 2

A reta é

y - 1 = 1 2 x - 1

y = x 2 - 1 2 + 1

y = x 2 + 1 2

Isolando x

x = 2 y - 1

Então podemos escrever D da seguinte forma

D = x , y   1 ≤ y ≤ 2 ,     2 - y ≤ x ≤ 2 y - 1

Passo 3

Então temos que

∬ D y 3 d A = ∫ 1 2 ∫ 2 - y 2 y - 1 y 3   d x   d y

Agora é só integrar, primeiro em relação a x

= ∫ 1 2 x y 3 x = 2 - y x = 2 y - 1   d y = ∫ 1 2 2 y 4 - y 3 - 2 y 3 - y 4 d y

= ∫ 1 2 3 y 4 - 3 y 3 d y = 3 ∫ 1 2 y 4 - y 3 d y

Agora em relação a y

= 3 y 5 5 - y 4 4 1 2 = 3 32 5 - 16 4 - 1 5 - 1 4

= 3 31 5 - 15 4 = 3 124 - 75 20 = 3 49 20

= 147 20

Resposta

= 147 20

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