Enunciado

15.11. Calcule a integral iterada.

int_0^(ln 2) int_0^(ln 5) e^(2 x - y) d x d y

Passo 1

A gente pode reescrever essa integral de um jeito que vai ficar mais fácil da gente resolver. Vamos começar lembrando da propriedade dos expoentes

e^(2 x - y) = e^(2 x) * e^(- y)

Então ficamos com

int_0^(ln 2) int_0^(ln 5) (e^(2 x) * e^(- y)) d x d y

É interessante a gente fazer isso porque ficamos com uma integral da seguinte forma

int int f (x , y) d x d y = int int g (x) h (y) d x d y

Onde

g (x) = e^(2 x)

E

h (y) = e^(- y)

As funções desse tipo (produto entre duas funções de variáveis diferentes) têm uma propriedade interessantíssima para gente que facilita bastante a resolver, é o seguinte

int int g (x) h (y) d x d y = int g (x) d x int h (y) d y

Então vamos reescrever a nossa integral

int_0^(ln 2) int_0^(ln 5) (e^(2 x) * e^(- y)) d x d y = int_0^(ln 2) e^(- y) d y * int_0^(ln 5) e^(2 x) d x

Agora temos duas integrais mais simples de resolver.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral

int_0^(ln 2) e^(- y) d y

Vamos usar uma substituição simples

u = - y d u = - d y

Então

- int e^u d u

A gente já já coloca os limites de volta. Bem essa integral é especial, o resultado é assim

- int e^u d u = - e^u

Voltando da substituição

- e^u = - e^(- y)

Nos limites

[ - e^(- y) ]_0^(ln 2) = - (e^(- ln 2) - e^0) = - ((1)/(2) - 1) = (1)/(2)

Passo 3

Agora vamos resolver a outra integral

int_0^(ln 5) e^(2 x) d x

Bom vamos fazer uma substituição muito parecida com a do passo anterior

u = 2 x d u = 2 d x (d u)/(2) = d x

Então

(1)/(2) int e^u d u

Essa integral é bem parecida com o do passo acima

(1)/(2) int e^u d u = 2 e^u

Voltando da substituição

(1)/(2) e^u = (1)/(2) e^(2 x)

Fazendo nos limites

[(1)/(2) e^(2 x)]_0^(ln 5) = (1)/(2) (e^(2 ln 5) - e^(2 * 0))

= (1)/(2) (e^(ln 5^2) - e^(2 * 0)) = (1)/(2) (e^(ln 2 5) - e^0) = (1)/(2) (25 - 1)

= (25)/(2) - (1)/(2) = (24)/(2) = 12

Passo 4

Falta pouco para terminar

int_0^(ln 2) e^(- y) d y * int_0^(ln 5) e^(2 x) d x

A gente já tem os valores dessas integrais

int_0^(ln 2) e^(- y) d y * int_0^(ln 5) e^(2 x) d x = (1)/(2) * 12 = 6

E terminamos.

Resposta

int_0^(ln 2) int_0^(ln 5) e^(2 x - y) d x d y = 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

int_0^1 int_0^1 v (u - v^2)^4 d u d v
Calcule a integral dupla.∬_R s e n ( x + y ) d A , R = {(x , y),0 = x = (pi)/(2) , 0 = y = (pi)/(2)}
Calcule a integral iterada.int_(- 3)^3 int_0^(pi // 2) ( y + y^2 c o s x ) d x d y
Calcule a integral dupla.∬_R y e^(- x y) d A , R = [0,2] xx [ 0,3 ]
Utilize a simetria para calcular a integral dupla. ∬ R 1 + x 2 sen ⁡ y + y 2 sen ⁡ x d A R = - π , π × - π , π