Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 10
15.10. Calcule a integral iterada.
Passo 1
Vamos lá, temos que resolver a integral
Uma integral dupla. A gente tem que integrar primeiro em e depois em , porque vem antes que vem antes que . É a mesma coisa que
Passo 2
Então a gente pode resolver separadamente, começando por
Para resolver essa integral temos que fazer uma substituição
Então
Os limites a gente coloca daqui a pouco, quando a gente voltar numa função de e não mais de .
Como o expoente é diferente de 1 podemos aplicar a regra das potências
Voltando da substituição
Agora a gente volta com os limites
Passo 3
Então nossa integral fica
E agora podemos integrar em .
Lembrando que a integral da soma é a soma das integrais
Vamos resolver a primeira integral
Precisamos fazer outra substituição aqui
Então
Essa integral fica
Voltando da substituição
Nos limites
Agora vamos resolver
Essa integral fica
Então
Agora podemos fazer
Somando os termos iguais
Usando a propriedade do logaritmo que o multiplicador vira expoente
E por fim usamos a propriedade que a subtração dos logaritmos é a mesma coisa que dividir o argumento dos logaritmos
Então