Enunciado

15.10. Calcule a integral iterada.

int_1^2 int_0^1 (x + y)^(- 2) d x d y

Passo 1

Vamos lá, temos que resolver a integral

int_1^2 int_0^1 (x + y)^(- 2) d x d y

Uma integral dupla. A gente tem que integrar primeiro em x e depois em y , porque d x vem antes que vem antes que d y . É a mesma coisa que

int_1^2 (int_0^1 (x + y)^(- 2) d x) d y

Passo 2

Então a gente pode resolver separadamente, começando por

int_0^1 (x + y)^(- 2) d x

Para resolver essa integral temos que fazer uma substituição

u = (x + y) d u = d x

Então

int u^(- 2) d u

Os limites a gente coloca daqui a pouco, quando a gente voltar numa função de x e não mais de u .

Como o expoente é diferente de 1 podemos aplicar a regra das potências

int u^(- 2) d u = [- u^(- 1)] = - (1)/(u)

Voltando da substituição

[- (1)/(u)] = [- (1)/((x + y))]

Agora a gente volta com os limites

[- (1)/(x + y)]_0^1 = - ((1)/((1 + y)) - (1)/((0 + y))) = - (1)/(1 + y) + (1)/(y)

Passo 3

Então nossa integral fica

int_1^2 (- (1)/(1 + y) + (1)/(y)) d y

E agora podemos integrar em y .

Lembrando que a integral da soma é a soma das integrais

int_1^2 (- (1)/(1 + y) + (1)/(y)) d y = int_1^2 - (1)/(1 + y) d y + int_1^2 (1)/(y) d y

Vamos resolver a primeira integral

int_1^2 - (1)/(1 + y) d y = - int_1^2 (1)/(1 + y) d y

Precisamos fazer outra substituição aqui

u = 1 + y d u = d y

Então

- int (1)/(u) d u

Essa integral fica

- int (1)/(u) d u = - ln |u|

Voltando da substituição

- ln |u| = - ln |1 + y|_1^2

Nos limites

- ln |1 + y|_1^2 = - (ln |1 + 2| - ln |1 + 1|) = - ln 3 + ln 2

Agora vamos resolver

int_1^2 (1)/(y) d y

Essa integral fica

int_1^2 (1)/(y) d y = ln | y |_1^2

Então

ln |y|_1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2

Agora podemos fazer

int_1^2 - (1)/(1 + y) d y + int_1^2 (1)/(y) d y = - ln 3 + ln 2 + ln 2

Somando os termos iguais

- ln 3 + ln 2 + ln 2 = - ln 3 + 2 ln 2

Usando a propriedade do logaritmo que o multiplicador vira expoente

- ln 3 + 2 ln 2 = - ln 3 + ln 2^2 = - ln 3 + ln 4

E por fim usamos a propriedade que a subtração dos logaritmos é a mesma coisa que dividir o argumento dos logaritmos

- ln 3 + ln 4 = ln ((4)/(3))

Então

int_1^2 int_0^1 (x + y)^(- 2) d x d y = ln ((4)/(3))

Resposta

int_1^2 int_0^1 (x + y)^(- 2) d x d y = ln ((4)/(3))

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