Enunciado

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

int e^(sen theta) cos theta d theta , u = sen theta

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, e já nos foi dada qual substituição usar, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = sen theta

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos theta d theta

Vamos agora fazer a substuição:

int e^(sen theta) cos theta d theta = int e^u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int e^x d x = e^x + C

Agora é só aplicar:

int e^u d u = e^u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = sen theta :

int e^(sen theta) cos theta d theta = int e^u d u = e^u + C = e^(sen theta) + C

Resposta

int e^(sen theta) cos theta d theta = e^(sen theta) + C

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