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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 5.5 - Ex. 39

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desse livro

Calcule a integral indefinida.

∫ s e n   2 x 1 + cos 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição. Vamos tentar chamar o denominador de u para ver o que acontece: não esqueça também que s e n   2 x = 2   s e n   x cos ⁡ x .

OS: a constante de integração é fundamental na resposta final!!!

Passo 2

Tomando u = 1 + cos 2 ⁡ x , segue que d u = - 2 cos ⁡ x   s e n   x   d x =   - s e n   2 x   d x . Assim, segue imediatamente que s e n   2 x   d x =   - d u : nosso problema foi resolvido!!!

Fazendo a mudança de variável:

∫ s e n   2 x 1 + cos 2 ⁡ x   d x = - ∫ 1 u d u = - ln ⁡ u + C = - ln ⁡ u + C

Foi possível tirar o u do módulo pois sabemos que u > 0 .

Passo 3

Voltando a variável original:

∫ s e n   2 x 1 + cos 2 ⁡ x   d x = - ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x + C

Resposta

- ln ⁡ 1 + cos 2 ⁡ x + C

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