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Calcule a integral indefinida:

∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1   d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = tg ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1   d x = ∫ 5 tg ⁡ θ + 4 tg 3 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ + 1   sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 5 tg ⁡ θ + 4 sec 2 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ + 1   d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 5 tg ⁡ θ + 4 sec 2 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ tg 2 ⁡ θ + 1   d θ = ∫ 5 tg ⁡ θ + 4 sec 2 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 5 tg ⁡ θ + 4 sec 2 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ =

= ∫ 5 tg ⁡ θ + 4 sec ⁡ θ tg 3 ⁡ θ   d θ = ∫ 5 tg ⁡ θ sec ⁡ θ tg 3 ⁡ θ   d θ + ∫ 4 sec ⁡ θ tg 3 ⁡ θ   d θ = ∫ 5 sec ⁡ θ tg 2 ⁡ θ   d θ + ∫ 4 sec ⁡ θ tg 3 ⁡ θ   d θ

Vamos deixar tudo em termos de sen ⁡ θ e cos ⁡ θ :

∫ 5 sec ⁡ θ tg 2 ⁡ θ   d θ + ∫ 4 sec ⁡ θ tg 3 ⁡ θ   d θ = ∫ 5 1 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ + ∫ 4 1 cos ⁡ θ sen 3 ⁡ θ cos 3 ⁡ θ   d θ =

= ∫ 5 cos ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ + ∫ 4 cos ⁡ θ ⋅ cos 3 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ   d θ = ∫ 5 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ + ∫ 4 cos 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ   d θ

Passo 2

Para calcular essas integrais vamos usar substituição, na primeira vamos ter:

u = sen ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ d θ

Aplicando vamos ter:

∫ 5 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 5 u 2   d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ 5 u 2   d u = 5 ∫ u - 2 d u = 5 u - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 5 u - 1 - 1 + C = - 5 u + C

Passo 3

Na segunda vamos transformar em integrais de cossecantes:

∫ 4 cos 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ   d θ = 4 ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ   d θ = 4 ∫ 1 sen 3 ⁡ θ   - sen 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ   d θ =

= 4 ∫ 1 sen 3 ⁡ θ   d θ - 4 ∫ sen 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ   d θ = 4 ∫ cosec 3 ⁡ θ d θ - 4 ∫ 1 sen ⁡ θ   d θ =

= 4 ∫ cosec 3 ⁡ θ d θ - 4 ∫ cosec ⁡ θ d θ

Com a primeira integral vamos usar a fórmula de Recorrência:

∫ cosec 3 ⁡ θ d θ = - 1 3 - 1 cosec 3 - 2 ⁡ θ cotg ⁡ θ + 3 - 2 3 - 1 ∫ cosec 3 - 2 ⁡ θ d θ

∫ cosec 3 ⁡ θ d θ = - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ∫ cosec ⁡ θ d θ

E a integral de ∫ cosec ⁡ θ d θ achamos usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cosec ⁡ x d x = ln ⁡ cosec ⁡ x - cotg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ cosec 3 ⁡ θ d θ = - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ∫ cosec ⁡ θ d θ

∫ cosec 3 ⁡ θ d θ = - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ

E aplicar também na segunda integral lá de cima e vamos juntar tudo:

∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1   d x = ∫ 5 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ + ∫ 4 cos 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ   d θ =

= ∫ 5 u 2   d u + 4 ∫ cosec 3 ⁡ θ d θ - 4 ∫ cosec ⁡ θ d θ =

= - 5 u + 4 - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ - 4 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C =

= - 5 u - 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ - 4 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C =

= - 5 u - 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ - 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1   d x = - 5 u - 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ - 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C =

= - 5 sen ⁡ θ - 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ - 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C

Temos que x = tg ⁡ θ , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo:

Assim os valores de sen ⁡ θ , cosec ⁡ θ e cotg ⁡ θ são:

sen ⁡ θ = x x 2 + 1

cosec ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ = 1 x x 2 + 1 = x 2 + 1 x

cotg ⁡ θ = 1 tg ⁡ θ = 1 x

Pronto, ficamos então com:

∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1   d x = - 5 sen ⁡ θ - 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ - 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C =

= - 5 x x 2 + 1 - 2 ⋅ x 2 + 1 x ⋅ 1 x - 2 ln ⁡ x 2 + 1 x - 1 x + C =

= - 5 x 2 + 1 x - 2 x 2 + 1 x 2 - 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 1 x + C

Resposta

∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1   d x = - 5 x 2 + 1 x - 2 x 2 + 1 x 2 - 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 1 x + C

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