Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.6 - Ex. 10

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Calcule a integral indefinida.

∫ 5 x 3 + 4 x d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ 5 x 3 + 4 x d x = 5 ∫ 1 x x 2 + 4 d x

Vamos usar Frações Parciais, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 x x 2 + 4 = A x + B x + C x 2 + 4  

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x 2 + 4 :

1 = A x 2 + 4 + B x + C x

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A x 2 + 4 + B x + C x

1 = A x 2 + 4 A + B x 2 + C x

1 = x 2 A + B + x C + 4 A

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 C = 0 4 A = 1 → B = - A C = 0 A = 1 4 → B = - 1 4 C = 0 A = 1 4

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

5 ∫ 1 x x 2 + 4 d x = 5 ∫ 1 4 x + - 1 4 x + 0 x 2 + 4 d x = 5 ∫ 1 4 x - x 4 x 2 + 4 d x =

= 5 ∫ 1 4 x d x + 5 ∫ - x 4 x 2 + 4 d x = 5 4 ∫ 1 x d x - 5 4 ∫ x x 2 + 4 d x

Agora vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

5 4 ∫ 1 x d x = 5 4 ln ⁡ x + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição por último na terceira:

r = x 2 + 4

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 2 x + 0   d x = 2 x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 5 4 ∫ x x 2 + 4 d x = - 5 4 ∫ 1 2 r d r = - 5 8 ∫ 1 r d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 5 8 ∫ 1 r d r = - 5 8 ln ⁡ r + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

5 4 ∫ 1 x d x - 5 4 ∫ x x 2 + 4 d x = 5 4 ln ⁡ x - 5 8 ln ⁡ r + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 5 x 3 + 4 x d x = 5 4 ln ⁡ x - 5 8 ln ⁡ r + C = 5 4 ln ⁡ x - 5 8 ln ⁡ x 2 + 4 + C

Resposta

∫ 5 x 3 + 4 x d x = 5 4 ln ⁡ x - 5 8 ln ⁡ x 2 + 4 + C

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