Enunciado

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Calcule a integral indefinida.

∫ 2 x 3 x 2 + x d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ 2 x 3 x 2 + x d x = ∫ 2 x 3 x x + 1 d x = 2 ∫ x 2 x + 1 d x

Vamos fazer a divisão dos polinômios da expressão:

Assim temos:

x 2 = x + 1 x - 1 + 1 → x 2 x + 1 = x + 1 x - 1 x + 1 + 1 x + 1 →

→ x 2 x + 1 = x - 1 + 1 x + 1

Vamos substituir na integral:

2 ∫ x 2 x + 1 d x = 2 ∫ x - 1 + 1 x + 1 d x = 2 ∫ x d x + ∫ - 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x

Passo 2

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Com a primeira para achar as primitivas da função vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ x d x = x 1 + 1 1 + 1 + C = x 2 2 + C

Passo 3

Com a segunda vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Assim:

∫ - 1 d x = - x + C

Passo 4

E com a terceira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 x + 1 d x d x = ∫ 1 u d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 5

Agora é só juntar tudo:

2 ∫ x d x + ∫ - 1 d x + ∫ 1 x + 1 d x = 2 x 2 2 - x + ln ⁡ u + C = x 2 - 2 x + 2 ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 2 x 3 x 2 + x d x = x 2 - 2 x + 2 ln ⁡ u + C = x 2 - 2 x + 2 ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

∫ 2 x 3 x 2 + x d x = x 2 - 2 x + 2 ln ⁡ x + 1 + C

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