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Calcule a integral indefinida.

∫ cosec 4 ⁡ 3 - 2 x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 3 - 2 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 2 d x → - 1 2 d u = d x

Agora vamos fazer a substituição:

∫ cosec 4 ⁡ 3 - 2 x d x = ∫ - cosec 4 ⁡ u 2 d u = - 1 2 ∫ cosec 4 ⁡ u d u

Passo 2

Pronto, vamos fazer algumas manipulações, usando a identidade:

1 + co tg 2 ⁡ x = cosec 2 ⁡ x

Vamos substituir:

- 1 2 ∫ cosec 4 ⁡ u d u = - 1 2 ∫ 1 + cotg 2 ⁡ x cosec 2 ⁡ u d u =

= - 1 2 ∫ cosec 2 ⁡ u + cosec 2 ⁡ u cotg 2 ⁡ x d u = - 1 2 ∫ cosec 2 ⁡ u d u + ∫ cosec 2 ⁡ u cotg 2 ⁡ x d u

Na segunda integral vamos fazer outra substituição:

v = cotg ⁡ u

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = - cosec 2 ⁡ u d u → - d v = cosec 2 ⁡ u d u

Vamos substituir agora:

∫ cosec 2 ⁡ u cotg 2 ⁡ x d u = ∫ - v 2 d v = - ∫ v 2 d v

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cosec 2 ⁡ x d x = - cotg ⁡ x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ u d u = ln ⁡ sec ⁡ u + tg ⁡ u + C

Passo 4

Pronto, vamos agora juntar com a expressão toda:

∫ cosec 4 ⁡ 3 - 2 x d x = - 1 2 ∫ cosec 4 ⁡ u d u = - 1 2 ∫ cosec 2 ⁡ u d u + ∫ cosec 2 ⁡ u cotg 2 ⁡ x d u =

= - 1 2 - cotg ⁡ u - ∫ v 2 d v = - 1 2 - cotg ⁡ u - v 2 + 1 2 + 1 = - 1 2 - cotg ⁡ u - v 3 3 + C =

= cotg ⁡ u 2 + v 3 6 + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ cosec 4 ⁡ 3 - 2 x d x = cotg ⁡ u 2 + v 3 6 + C = cotg ⁡ u 2 + cotg 3 ⁡ u 6 + C =

= cotg ⁡ 3 - 2 x 2 + cotg 3 ⁡ 3 - 2 x 6 + C

Resposta

∫ cosec 4 ⁡ 3 - 2 x d x = cotg ⁡ 3 - 2 x 2 + cotg 3 ⁡ 3 - 2 x 6 + C

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