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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart - Capítulo 5.5 - Ex. 39

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Calcule a integral indefinida.

∫ sec 3 ⁡ x   t g   x   d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Bom, essa integral precisa de um pouco de traquejo para ser resolvida: não é difícil, mas precisamos olhar com atenção para ela!

Note que que a derivada da secante é secante vezes tangente e podemos rearranjar a integral para que isso seja útil:

∫ sec 3 ⁡ x   t g   x   d x = ∫ sec 2 ⁡ x sec ⁡ x   t g   x   d x

Assim, fazendo a substituição u = sec ⁡ x , nosso problema está resolvido.

Passo 2

Chamando u = sec ⁡ x , temos que d u = sec ⁡ x   t g   x   d x . Assim, a integral fica

∫ sec 2 ⁡ x sec ⁡ x   t g   x   d x = ∫ u 2   d u = u 3 3 + C

Passo 3

Voltando a variável original:

∫ sec 2 ⁡ x sec ⁡ x   t g   x   d x = sec 3 ⁡ x 3 + C

Resposta

sec 3 ⁡ x 3 + C

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