Calcule a integral indefinida.

∫ sec 3 ⁡ x   t g   x   d x

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular a integral dada por

∫ sec 3 ⁡ x   t g   x   d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Bom, essa integral precisa de um pouco de traquejo para ser resolvida: não é difícil, mas precisamos olhar com atenção para ela!

Note que que a derivada da secante é secante vezes tangente e podemos rearranjar a integral para que isso seja útil:

∫ sec 3 ⁡ x   t g   x   d x = ∫ sec 2 ⁡ x sec ⁡ x   t g   x   d x

Assim, fazendo a substituição u = sec ⁡ x , nosso problema está resolvido.

Veja só!

Passo 2

Chamando u = sec ⁡ x , temos que

d u = sec ⁡ x   t g   x   d x

Assim, a integral fica

∫ sec 2 ⁡ x sec ⁡ x   t g   x   d x = ∫ u 2   d u

Integrando pelo método de integração polinomial...

∫ sec 2 ⁡ x sec ⁡ x   t g   x   d x = u 3 3 + C

Voltando a variável original:

∫ sec 2 ⁡ x sec ⁡ x   t g   x   d x = sec 3 ⁡ x 3 + C

E fim! O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

sec 3 ⁡ x 3 + C

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